数学史话 数学史上的奇迹
发布:佚名 时间:2010-7-15 15:20:00 来源:京翰教育中心 录入:杨 人气:94
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数学史话 数学史上的奇迹
公元1852年，毕业于英国伦敦大学并从事地图着色工作的佛朗西斯·格里斯，发现了一个奇怪的现象：无论多么复杂的地图，只要用四种颜色，就可以区分有公共边界的国家和地区。佛朗西斯觉得这中间一定有着什么奥妙，于是写信向其胞兄佛德雷克询问。佛德雷克对数学造诣颇深，但绞尽脑汁依然不得要领，只好求教于自己的老师，著名的英国数学家摩根（Morgan，1806～1871）。摩根教授怀着浓厚的兴趣，对此苦苦思索了几个昼夜，觉得无法判定佛德雷克所提的问题是对还是错。于是便写信给挚友，著名的数学家哈密尔顿（Hmilton，1805～1865）探讨。
摩根在信中希望哈密尔顿要么能证明“如果一张地图，图上任意分成许多部分，要求有共同边界的两部分涂不同颜色，那么只要四种颜色就够了”，要么构造出一个需要五种或更多种颜色的图来。
然而，智慧超人的哈密尔顿没能做到。他耗费了整整13年心血，终于一筹莫展，抱恨逝去！
哈密尔顿死后，又过了13年，一位颇有名望的英国数学家凯莱（Cayley，1821～1895）在一次数学年会上把这个问题归纳为“四色猜想”。并于次年，即公元1879年，在英国皇家地理会刊的创刊号上，公开征求对“四色猜想”的解答。从此，“四色猜想”不胫而走，成为街谈巷议的热题。
但上述状态井没有持续很久。在征解消息发出的同年，一位半路出家的数学家肯普，发表了一个关于四色定理的证明。这使曾经出现的一时轰动很快平息下来。人们普遍以为“四色猜想”已经成为历史。不料过了11年，即公元1890年，一个名叫赫伍德的青年，指出了肯普在证明中的错误。从而使这一沉熄了10年之久的问题，又重新燃起了熊熊的烈火！与此同时，赫伍德匠心独运，利用肯普提供的方法，成功地证明了用五种颜色能够区分地图上相邻的国家。这算是在向“四色猜想”进军中第一个重大的突破！
赫伍德关于“五色定理”的证明其实并不难。首先，他如同上图那样，对问题加以简化：即把原图上的每个顶点，换成围绕顶点的一个小区域。很明显，如果后一张地图能够用五种颜色染色，那么原图也一定能够用五种颜色染色。所以今后我们就只讨论顶点是三个国家界点的地图。
现在转到证明本身。设f2是边界只有两个顶点的国家数；f3是边界有3个顶点的国家数；……显然，国家总数目f：
f＝f2+f3+f4……
由于f2这类国家有两个顶点，因而有两条边界，从而这类国家共有2f2条边界。同理f3类国家共有3f3条边界。如此等等。又由于每条边界都连接着两个国家。从而，边界总数目e满足：
2e＝2f2＋3f3＋4f4＋……
对于顶点总数目v，同理有
3v＝2f2＋3f3＋4f4+……
由上两式得：
3v＝2e
根据上一节结尾证明的欧拉定理知道：
v＋f＝e＋2
消去e可得：
6f＝3v＋12
即6（f2+f3+f4……）＝（2f2＋3f3＋4f4＋……）＋12
化简有：4f2＋3f3＋2f4+f5=12+f7+2f8+……