仁华思维导引 数论综合4
发布:佚名 时间:2010-7-15 15:24:00 来源:京翰教育中心 录入:杨 人气:194
【文字：
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内容概述
主要是“小升初”综合素质测试中较难的数论问题．
典型问题
1．任意选取9个连续的正整数，即它们的乘积为P，最小公倍数为Q．我们知道，P除以Q所得到的商必定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少?
【分析与解】 将9个连续的正整数作因式分解，如果某个质数是其中至少两个分解式的因子，那么次数最高的那个方幂会包含在最小公倍数Q中，而其他方幂的乘积则出现在P除以Q的商中．显然这样的质数必定小于9，只可能是2，3，5或7．
记P÷Q=R，则R的质因数必定取自2，3，5，7．
两个不同的7的倍数至少相差7，因此在9个连续正整数中，最多有两个数含有质因数7．当有两个数是7的倍数是，可能它们都不能被7×7整除，也可能其中一个数是7×7的倍数，而另一个不是．于是R的质因数分解式中7的幂次最高是1．
类似的分析，R中最多包含一个质因数5．
在9个连续的正整数中，恰有3个数是3的倍数，其中一个数能被9整除，而另一两个数仅能被3整除，因此R中所包含的质因数3的幂次必定为2．
在9个连续的正整数中，最多有5个数是偶数．此时，除去含有2的幂次最高的数外，其余的4的数含有质因数2最多的情形是：其中有2个仅为2的倍数，有1个是4的倍数，另一个是8的倍数．即R的质因数分解式中2的幂次最多是1+1+2+3=7．
综上所述，R的最大值是27×32×5×7=40320．事实上，对于9个连续正整数560，561，…，568，P除以Q所得到的商恰是40320．
2．老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：