仁华思维导引 构造与论证2
发布:佚名 时间:2010-7-15 15:24:00 来源:京翰教育中心 录入:杨 人气:182
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内容概述
组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．
典型问题
2．甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l，2，3，4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24 ？
【分析与解】 不妨设甲、乙比赛时，1～15号是男女对垒，乙、丙比赛时．在1～15号中有a台男女对垒，15号之后有9-a台男女对垒(0≤a≤9)
甲、丙比赛时，前15号，男女对垒的台数是15-a(如果1号乙与1号丙是男女对垒，那么1号甲与1号丙就不是男女对垒)，15号之后，有9-a台男女对垒.所以甲、丙比赛时，男女对垒的台数为
15-a+9-a=24-2a≤24．
仅在a=0，即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于24．
4．将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．
【分析与解】 如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的列与列之问的数目不同．那么红色最少也会占：
0+1+2+…+14=105个格子．
同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：
3×(0+l+2+…+14)=315个格子．
但是，现在只有15×15=225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证．