小升初奥数每天一题：不同的凑法
发布:佚名 时间:2010-4-21 13:22:00 来源:京翰教育中心 录入:杨 人气:318
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用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？（第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试第4题）
分析 用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？
解：按5分硬币的个数分21类计数；
假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；
假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；
假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；
…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：
1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51
=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51
=90＋400＋51
=541（种）.
说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.
上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.