小学四年级华数思维训练导引——构造与论证
发布:佚名 时间:2009-6-29 12:01:00 来源:京翰教育中心 录入:杨 人气:702
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13、在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分。今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。现知，其中一个学生共得7分，另一个学生共得20分。试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。
分析：设7分者胜X局，负Y局；20分者胜M局，负N局，则有X-Y=7，M-N=20 假设没有1次平局，那么由于比赛局数相同，得到：X+Y=M+N，X+Y+M+N为偶数。 另一方面，因为X-Y=7，X和Y两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为M-N=20，可知M和N奇偶性相同，那么M+N为偶数。得出的结果是：X+Y+M+N之和为奇数。
矛盾。说明没有平局的假设不成立。所以，比赛过程中至少有一次平局。
14、如图10-3，在3×3的方格表中已经填入了9个整数。如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？
分析：不能。 如果进行操作后，表中9个数能变为相同的数，其和必能整除3；因为每次操作是同一行或同一列的3个数加上相同的整数，增加的数也能整除3。那么，原来表中的9个数的和也必能整除3。把表中的9个数相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100不能整除3，与假设矛盾，所以不能实现。
15、今有长度为1，2，3，……，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成 （1）一个正方体框架？（2）一个长方体框架？
分析：（1）不能。 正方体有12条棱，金属杆长度之和能被12整除时，才能不弯曲任何一根焊成正方体框架。1+2+3+……+199=19900，1+9+9=19，19不能整除3，所以长度之和不是12的整数倍。 （2）可以。
（1+198）+（2+197）+（3+196）+……+199，可以组成100个199，所以可以构成一个长199×12，宽199×12，高199的长方体框架，棱长共（199×12+199×12+199）×4=199×100；也可以构成一个长199×20，宽199×3，高199×2的长方体框架，棱长共（199×20+199×3+199×2）×4=199×100；等等。