小升初奥数每天一题：超好数
发布:佚名 时间:2009-1-7 13:19:00 来源:京翰教育中心 录入:杨 人气:393
【文字：
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已知=1444，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且抹3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”。
（1）请再找出一个“好数”。
（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？
（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”。
答案：
1）：1038^2=1077444；10038^2,100038^2等等都可以。
2）：平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0；0不考虑。
末尾数是5的平方尾数一定是25；故不可能是5；
对于1，设（10a+1）^2满足X111；而（10a+1）^2=20a*（5a+1）+1；倒数第二位一定是偶数；不符合题意；
对于9，设（10a+3）^2满足X999；而（10a+3）^2=20a*（5a+1）+9；倒数第二位一定是偶数；又设（10a+7）^2满足X999；而（10a+7）^2=20a*（5a+7）+1；倒数第二位一定是偶数；不符合题意；
对于6，设（10a+4）^2满足X666；而（10a+4）^2=（100a^2+80a+10）+6，倒数第二位一定是奇数；不符合题意；
设（10a+6）^2满足X666；而（10a+6）^2=10*（10a*a+12a+3)+6；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；
故好数的个位数字只能是4。
3）：假设存在超好数，设为1000n+38；
则有：（1000n+38）^2=1000000n^2+76000n+1444=1000*(1000n^2+76n+1)+444
(1000n^2+76n+1)不可能被4整除；也就是不可能得到倒数第四位为4；故假设不成立。
即：不存在超好数。